Triangulo de pascal.

 Distribución binomial.

 El triángulo de Pascal es una disposición triangular de números binomiales, utilizada en álgebra y combinaciones. Nombrado en honor al matemático francés Blaise Pascal. 

La importancia del triángulo de Pascal se extiende más allá de la teoría de probabilidades y la estadística. En el ámbito de la teoría de números y la combinatoria, este patrón numérico es fundamental para la formulación y resolución de diversas ecuaciones y cálculos. Al comprender su relación con las matemáticas, se hace evidente que el triángulo de Pascal es una herramienta versátil y esencial en numerosas ramas de la disciplina matemática.

Video explicativo de cómo usar el triángulo de pascal. 

P = probabilidad de éxito, que si pase. 

Q = probabilidad que no suceda, fracaso. 

N = número de acontecimiento. 

Ejercicio 1 

El auditor de una empresa a descubierto cierta frecuencia de errores contables en las tarjetas auxiliares de ventas. por cada 20 tarjetas que revisa 5 tienen error. Con base a toda información y aplicando la distribución binomial para determinar el valor de la probabilidad de que en una futura inspección. 

A) de las 5 tarjetas encuentre tosas con error, 

Ejercicio 2 

 

CONVINACION NO IMPORTANDO EL ORDEN

                                                              C n =      N!                                                                                                    p       (n-p)! P!

• Combinación sin repetición.  Ejercicio para practicar.  

C - Combinación 

N - Número total de elementos del conjunto a combinar. 

R/P - Número de elementos que serán combinados. 

Ejercicio: Un estudiante tiene que responder 8 de 12 preguntas, cuantas formas tiene que responder. 

 C12 =       12!        

       8        (12-8)! 8!   

• Combinación con repetición. Ejercicio para practicar. 

 Cn = (n + p -1)!                                                                                                                                                 p     (n - 1)! p!   

Cuantas combinaciones con repetición se pueden formar dados 3 símbolos diferentes tomados de 2 en 2. 

 C3 = (3 + 2 - 1)! = 6

2     (3 - 1)! 2! 

- Distribución de probabilidades. 

100% ---> = Certeza (SI) 

0% ---> = Nulo (NO) 

• Probabilidad clásica. 

P (a) = h                                                                                                                                                                      n 

H = número de casos probables

N = número total de casos posibles 

Ejercicio. 

Una persona a asistido a 20 reuniones durante los últimos meses y a observado que en 7 de ellas han servido pollo. ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima reunión vuelva a comer pollo?

P (a) = H =  7  = 0.35 > 35% 

            N = 20 

Conceptos básicos de probabilidad. 

Ejercicios para practicar. 

1) Principio de Oscilación. 

Se fundamenta en el hecho de que el valor más pequeño que puede obtener de la probabilidad es 0 que indica que el evento no ocurrió (probabilidad nula) Y el valor mayor que se puede obtener es 1 que indique que el evento si acurra (principio de certeza).

0 = P (A) < 1 

2) Principio de probabilidad nula. 

Es aquella que evalúa la ocurrencia de eventos imposibles, su valor numérico es 0. Eventos que nunca ocurren. 

P (A) = 0 

3) Principio de certeza. 

Se basa en el conocimiento que el evento si ocurra con certeza.

P (A) = 1

Tipos de eventos de probabilidad. 

1) Eventos independientes. 

Se da cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. 

P (A y B) = P (A n B) = P (A) * P (B) 

Ejercicio. 

Al lanzar 2 veces una moneda determinar la probabilidad de que los dos resultados sean cero. 

P (A) = 1/2                        1 * 1 = 1 > 0.25 = 25%                                                                                                                                  2    2    4

P (B) = 1/2 

2) Eventos dependientes. 

Se da cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de los eventos está íntimamente relacionada con la posibilidad. 

ejercicio: Cual es la probabilidad de que al seleccionar dentro de una caja que contiene 5 fichas rojas 2 azules y 1 negra. la primera que se saque sea azul y que en la siguiente extracción sea de color rojo (sin que se devuelva la primera) 

2 * 5 = 10 = 0.18 --> 18%                                                                                                                              8    7    56             

3) Eventos mutuamente excluyentes. 

Se da cuando la ocurrencia cuando uno elimina totalmente la posibilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplo 

Cuál es la posibilidad de que al abrir una jaula en la que hay tres ratones blancos cinco grises y tres pintos y el primero que salga sea d color blanco o pinto.

 3 *  3 = 6 = 0.55 -> 55% 

11   11   11

4) Eventos no excluyentes. 

Se dan cuando pueden ocurrir los dos eventos al mismo tiempo, aunque ello implique que deban ocurrir simultáneamente. 

P (A y B) = P (A n B) = [P(A) + P (B)] = [P (A) + P (B)]

Ejemplo 

Según un recuento estadístico, la probabilidad de que una persona de sexo masculino mayor a 30 años de este salón valla a ser seleccionado para participar en un evento deportivo es del 66.66%

P (A) = 66.66% => 66% => 2/3

Y el valor de la probabilidad de que sea una dama sin importar su edad es del 63%

P (A) = 63% => 5/8 

                                                                                                               

ANALISIS CONVINATORIO.

 ANALISIS COVINATORIO. --- Video

Diagrama de árbol.

Ejemplo: en una etapa final 3 quipos: ingeniería I, agila A y municipalidad M. Se disputan el primer y segundo lugar. De cuantas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares.  

METODO DE INSUMO - PRODUCCIÓN.

 METODO DE INSUMO - PRODUCCIÓN. 

La matriz insumo – producto es un modelo de formato donde se reflejan tanto las cifras de las actividades relacionadas con la composición de la producción, utilización y Producto Interno Bruto (pib) por actividad comercial, como las actividades económicas, efectuadas entre los diferentes sectores y agentes económicos, a lo largo de las fases del ciclo de producción, comercialización y consumo.

Material trabajado en clase. 

METODO DE ASIGNACION.

METODO DE ASIGNACION. 

En el contexto organizacional, se utiliza para distribuir recursos como mano de obra y capital entre diferentes departamentos. 

También se refiere a la asignación de recursos a tareas específicas, que puede incluir recursos monetarios, personales o tecnológicos.

PASO 1 

Verificar que todas las casillas tengan un costo. de no poseer un costo colocar cero (0). 

PASO 2 

Determinar si la tabla esta balanceada. de no ser iguales agregar filas o columnas necesarias con costo cero (0). 

PASO 3 

Elegir el menor valor de cada fila y restarlo de los demás. 

PASO 4 

elegir el menor valor de cada columna y restarlo de los demás. 

PASO 5 

Si procede a trazar el menor número de líneas posibles (horizontales y verticales) de modo que todos los ceros queden tachados. 

PASO 6 

Se contesta la pregunta ¿el número de líneas es igual al orden de la matriz? si la respuesta es no. Se debe realizar el paso 7 si la respuesta es sí realizar el paso 8. 

PASO 7 

Seleccionar el menor valor no tachado de toda la matriz. ese valor restarlo de todo elemento no tachado y sumar a los elementos de intersección entre líneas. 

OJO

Si no se encuentran el mismo número se líneas por columnas se repite paso 5,6.  

PASO 8 

Para dar la solución debemos asignar a cada tarea una maquina en donde exista un cero en su intersección tomando el costo mínimo inicial. 

MATERIAL DE APOYO CLASE. 

METODO VOGUEL Y METODO ANALISIS MODI.

 METODO VOGUEL. 

¿Qué es el método Vogel?

El método Vogel es una técnica de optimización que ayuda a encontrar la forma más eficiente de transportar bienes o productos entre diferentes puntos.

Te ayuda a optimizar tus recursos y a asegurarte de que tus productos llegan a su destino de la forma más económica posible.

Paso 1 

verificar la existencia de una matriz de costos. 

Paso 2 

confirmar que la suma de disponibilidad sea igual a la suma de requerimientos. sino fueran iguales debemos agregar una fila o columna con costo de transporte 0 (agregando dila o columna con el nombre ficticio). 

Paso 3

Se buscan los costos mínimos en cada fila y se restan y se colocan las diferencias o penalizaciones. Se repite el procedimiento para la columna. 

Paso 4 

Identificar el renglón o columna con la penalización (diferencia más allá) y asignar tanto como sea posible a la variable con el costo mínimo en el renglón o columna seleccionada.  

Paso 5 

Revisar si se asignó correctamente. 

SELDAS ASIGNADAS = NUMERO DE FILAS + COLUMNAS -1 

METODO MODI.

El método MODI es un método muy parecido al simplex que tiene como finalidad determinar los costos marginales o reducidos (C1 - Z1) en dos pasos. El algoritmo MODI, también conocido como el método de los costes ficticios, consiste en añadir a la matriz de costes una fila y una columna que recogen unos costes ficticios determinados arbitrariamente (los números MODI), tal que permite calcular los índices de mejora para las celdas (casillas) no utilizadas.

Paso 1 

Se debe formar una ecuación con la siguiente forma. 

xi + yj = cij 

Paso 2 

Se resuelven las ecuaciones para todas las variables asignadas a x1 = 0

Paso 3 

Se evalúan las celdas que no están asignadas con la formula cij - xi - yj

Paso 4 

se busca en los resultados de la avaluación anterior si existen resultados negativos; de existen valores negativos se elige el valor más negativo y se le denomina celda de entrada. Si existen números negativos indica que el costo total de transporte obtenido se puede mejorar. 

Paso 5 

Se construye un circuito cerrado que comienza y termina con la variable de entrada. cada esquina del circuito cerrado debe coincidir con una celda asignada. El circuito consiste solo en segmentos horizontales o verticales. 

Paso 6 

Se elige la menor cantidad entre las variables asignadas cercanas a la variable de entrada y se resta o se suma a las variables que están en el circuito. 

METODO DE TRANSPORTE NOROCCIDENTE Y COSTO MINIMO.

 METODO NOROESTE. 

El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución, mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes, sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. 

Paso 1

En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

Paso 2

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del «Paso 1», si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

Paso 3

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, «detenerse».

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el «Paso 1».

EJERCICIO METODO NOROESTE. 

METODO COSTO MINIMO. 

El método de costo mínimo es una técnica de análisis de decisiones que se utiliza en la toma de decisiones empresariales, especialmente en la gestión de la cadena de suministro y la logística, con el objetivo de seleccionar la opción más económica. Se trata de una herramienta que permite a las empresas optimizar sus recursos y maximizar sus beneficios al elegir el método de producción o logística más rentable.

¿Cómo se aplica el método de costo mínimo?

El método de costo mínimo se aplica a través de una serie de pasos que incluyen:

• Identificar los costos fijos y variables asociados a la producción del producto.
• Estimar la demanda del producto.
• Calcular el costo total de producción para diferentes niveles de producción.
• Calcular el ingreso total para cada nivel de producción.
• Calcular el beneficio para cada nivel de producción.
• Seleccionar el nivel de producción que maximiza el beneficio. 

EJERCICIO METODO COSTO MINIMO. 

MATERIAL DE APOYO DE CLASE. 

PROGRAMACION LINEAL.

Material de estudio. 

¿Qué es la programación lineal? 

Es una técnica matemática que se utiliza para optimizar el rendimiento o la eficiencia de un sistema. 

Pasos para resolver un problema mediante programación lineal. 

 1. Consiste en la identificación de los elementos básicos de un

modelo matemático, estos son:

◦ Función Objetivo

◦ Variables

◦ Restricciones

2. Consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:

Definir el criterio de la función objetiva. 

Identificar y definir la variable. 

Identificar y definir restricciones. 

planear la función objetivo. 

1) LA FUNCIÓN OBJETIVO

La función objetivo está directamente conectada con la pregunta principal que se quiere responder. Si un modelo tiene varias preguntas, la función objetivo se vincula con la de mayor importancia o la más fundamental. Por ejemplo, si el objetivo es minimizar costos, en realidad, la pregunta más relevante podría ser cómo aumentar la utilidad, en lugar de simplemente reducir gastos. 

2) LAS VARIABLES DE DECISIÓN. 

Las variables de decisión se relacionan con la función objetivo de manera similar a como los objetivos específicos se vinculan con el objetivo general. Estas variables se determinan a partir de preguntas que surgen de la pregunta principal del problema. En teoría, representan factores controlables dentro del sistema que se está modelando y pueden adoptar distintos valores. El propósito es identificar el valor óptimo de estas variables para alcanzar de la mejor manera el objetivo principal del problema. 

Ejemplo:

Imaginemos que una empresa de fabricación quiere maximizar sus ganancias (función objetivo). Para ello, debe tomar decisiones sobre cuántas unidades de dos productos diferentes debe producir (variables de decisión). Estas variables se identifican a partir de preguntas como:

• ¿Cuántas unidades del Producto A se deben fabricar?

• ¿Cuántas unidades del Producto B se deben fabricar?

Cada producto tiene costos de producción y genera ciertos ingresos, por lo que encontrar la cantidad óptima de producción permitirá maximizar las ganancias, que es el objetivo principal. 

3) LAS RESTRICCIONES – Limitantes (desigualdades – inecuaciones)

en un problema de programación lineal, las restricciones son los factores que limitan los valores que pueden tomar las variables de decisión. Para identificar estas restricciones, se recomienda imaginar un escenario en el que las variables puedan crecer sin límite (por ejemplo, producir infinitos zapatos en una fábrica). Esto ayuda a visualizar qué factores impedirían que esa situación fuera posible en la realidad.

Ejemplo:

Supongamos que una fábrica de pan quiere maximizar sus ganancias. Sus variables de decisión pueden ser:

• X: Cantidad de panes producidos al día.

Si intentáramos producir una cantidad infinita de pan, surgen varias restricciones como:

1. Materia prima limitada (harina, agua, levadura).

2. Capacidad del horno y equipo (no se pueden hornear panes sin límite).

3. Espacio de almacenamiento (el pan ocupa lugar).

4. Demanda del mercado (no hay clientes ilimitados para comprar pan).

5. Mano de obra disponible (número de trabajadores y horas de trabajo).

Estas restricciones evitan que las variables crezcan sin control y definen los límites dentro de los cuales se debe buscar la mejor solución. 

El método gráfico es una forma de resolver problemas de programación lineal, aunque solo se puede aplicar cuando hay pocas variables (dos en un gráfico 2D y tres en un gráfico 3D). A pesar de esta limitación, es útil porque permite interpretar los resultados y analizar cómo cambian ante diferentes condiciones. 

Este método funciona representando las restricciones como líneas o planos en un gráfico y determinando la región factible, que es el área donde se cumplen todas las restricciones. La solución óptima se encuentra en uno de los vértices de esta región debido a principios matemáticos relacionados con la geometría y la trigonometría. 

METODO SIMPLEX.

 .... 

METODO SIMPLEX.

VIDEO RESOLVIENDO UN EJERCICIO. 

¿Qué es el método simplex?

El método simplex es un algoritmo utilizado en la programación lineal para resolver problemas de optimización. En términos simples, busca encontrar la mejor solución posible a un problema dado, considerando ciertas restricciones y maximizando o minimizando una función objetivo.

Ventajas de utilizar el método simplex. 

• Aplicable a problemas de gran escala.

• Solución óptima.

• Flexibilidad en la formulación del problema. 

• Permite identificar soluciones no factibles o ilimitadas.

• Interpretación geométrica

• Puede incorporar variables no lineales

Problema:

$$Z = 3x_1 + 5x_2$$

$$2x_1 + 3x_2 \leq 8$$ $$4x_1 + x_2 \leq 6$$ $$x_1, x_2 \geq 0$$

---

Paso 1: Convertir a forma estándar

$$2x_1 + 3x_2 + s_1 = 8$$ $$4x_1 + x_2 + s_2 = 6$$

$$Z - 3x_1 - 5x_2 = 0$$

Variables no básicas: $x_1, x_2$.

Maximizar

Sujeto a las restricciones:

Las restricciones deben convertirse en ecuaciones agregando variables de holgura $s_1$ y $s_2$:

Función objetivo en forma estándar:

Variables básicas: $s_1, s_2$.

---

Paso 2: Tabla Inicial del Método Simplex

Básicas	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	RHS
$s_1$	2	3	1	0	8
$s_2$	4	1	0	1	6
Z	-3	-5	0	0	0