MATRICES DE 3X3.

Video explicando la solución de un ejercicio.

Esquema para una matriz 3x3

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \bullet & \bullet & \bullet& 1 & 0 & 0\\ \bullet & \bullet & \bullet& 0 & 1 & 0\\ \bullet & \bullet & \bullet& 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \bullet & \bullet & \bullet\\ 0 & 1 & 0 &\bullet & \bullet & \bullet\\ 0 & 0 & 1 &\bullet & \bullet & \bullet \end{array} \right)$

Orden a seguir

$\left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & \bullet & \bullet\\ \bullet & \bullet & \bullet\\ \bullet & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & \bullet & \bullet\\ \fbox{0} & \bullet & \bullet\\ \fbox{0} & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & \bullet & \bullet\\ 0 & \fbox{1} & \bullet\\ 0 & \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow$

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \fbox{0} & \bullet\\ 0 & 1 & \bullet\\ 0 & \fbox{0} & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \bullet\\ 0 & 1 & \bullet\\ 0 & 0 & \fbox{1} \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \fbox{0}\\ 0 & 1 & \fbox{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

El método de Gauss-Jordan es un procedimiento que sirve para resolver sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas, o sea como este:

$\left. \begin{array}{r} 3x-4y+5z=10 \\[2ex] x+5y-2z=4 \\[2ex] -x+4y+2z=-1 \end{array} \right\}$

un sistema de ecuaciones se puede expresar en forma de matriz: los coeficientes de las $x}$ se ponen en la primera columna, los coeficientes de las $y}$ en la segunda columna, los coeficientes de las $z$ en la tercera columna y los números sin incógnita en la cuarta columna.

Por ejemplo:

Para conseguir convertir el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, se puede hacer cualquier operación de las siguientes en la matriz asociada al sistema:

Cambiar el orden de las filas de la matriz.

Por ejemplo, podemos cambiar de orden las filas 2 y 3 de una matriz:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -2 & 1 \\[2ex] -2 & 4 & -1 & 2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 & 10 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -2 & 1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 & 10 \\[2ex] -2 & 4 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Multiplicar o dividir todos los términos de una fila por un número diferente de 0.

Por ejemplo, podemos multiplicar la fila 1 por 4, y dividir la fila 3 entre 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 3 & -1 & 5 & -3 \\[2ex] 2 & -4 & -2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -8 & 12 & 4 \\[2ex] 3 & -1 & 5 & -3 \\[2ex] 1 & -2 & -1 & 3 \end{array} \right)$

Sustituir una fila por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

Por ejemplo, en la siguiente matriz sumamos a la fila 2 la fila 3 multiplicada por 1:

$\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & 4 & 1 \\[2ex] 2 & 4 & 1 & -5 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1 \cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & 4 & 1 \\[2ex] 3 & 2 & 4 & -6 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & -1 \end{array} \right)$

ejemplo el procedimiento de cómo resolver un sistema de ecuaciones con el método de Gauss:

$\left. \begin{array}{r} -x+2y+2z=-24 \\[2ex] x+y+z=48 \\[2ex] 2x-6y+4z=12 \end{array} \right\}$

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

ejemplo de sistema de ecuaciones resuelto por el método de Gauss

Como veremos luego, es mejor si el primer número de la primera fila es un 1. Por tanto, vamos a cambiar de orden las filas 1 y 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 &-24 \\[2ex] 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{ f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 1 & 1 & 48 \\[2ex] -1 & 2 & 2 &-24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right)$

El objetivo del método de Gauss es conseguir que los números por debajo de la diagonal principal sean 0. Es decir, tenemos que convertir los números de color rojo en 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] \color{red}\bm{-1} & 2 & 2 &-24 \\[2ex] \color{red}\bm{2} & \color{red}\bm{-6} & 4 & 12 \end{array} \right)$

Para eliminar estos números debemos hacer las transformaciones adecuadas de las filas.

Por ejemplo, el -1, que es el primer elemento de la segunda fila, es el negativo de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si a la segunda fila le sumamos la primera fila, se eliminará el -1:

$\begin{array}{lccc|c} & -1 & 2 & 2 & -24 \\ + & \phantom{-}1 & 1 & 1 & \phantom{-}48 \\ \hline & \phantom{-}0 & 3 & 3 & \phantom{-}24 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Así que si hacemos esta suma nos queda la siguiente matriz:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] -1 & 2 & 2 & -24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right)$

De esta manera hemos conseguido transformar el -1 en un 0.

Ahora vamos a transformar el 2. Si te fijas, el 2, que es el primer elemento de la tercera fila, es el doble de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si a la tercera fila le sumamos la primera fila multiplicada por -2, se eliminará el 2:

$\begin{array}{lccc|c} & \phantom{-}2 & -6 & \phantom{-}4 & \phantom{-}12 \\ + & -2 & -2 & -2 & -96 \\ \hline & \phantom{-}0 & -8 & \phantom{-}2 & -84 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue} \bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue} \bm{\leftarrow -2 f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Así que nos queda la siguiente matriz:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3-2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & -8 & 2 & -84 \end{array} \right)$

De esta manera hemos conseguido transformar el 2 en un 0.

Ahora solo nos queda convertir el -8 en 0. Para ello, multiplicamos la tercera fila por 3 y le sumamos la segunda fila multiplicada por 8:

$\begin{array}{lccc|r} & 0 & -24 & \phantom{2}6 & -252 \\ + & 0 & \phantom{-}24 & 24 & \phantom{-}192 \\ \hline & 0 & \phantom{-2}0 & 30 & -60 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{ \leftarrow 3f_3} \\\color{blue}\bm{ \leftarrow 8f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Por tanto, obtenemos la siguiente matriz:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & -8 & 2 & -84 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{3f_3 + 8f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 30 & -60 \end{array} \right)$

Y con estas transformaciones hemos conseguido que todos los números por debajo de la diagonal principal sean 0. Así que ya podemos resolver el sistema de ecuaciones.

Ahora debemos convertir la matriz en un sistema de ecuaciones con incógnitas. Para ello recuerda que la primera columna corresponde a la $x$ , la segunda columna a la $y$ , la tercera columna a la $z$ y la última columna son los números sin incógnitas:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & 0 & 30 & -60 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x+1y+1z=48 \\[2ex] 3y+3z=24 \\[2ex] 30z=-60 \end{array} \right\}$

Y, finalmente, para resolver el sistema tenemos que ir despejando las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Ya que la última ecuación solo tiene una incógnita, y, por tanto, la podemos despejar y encontrar su valor:

$30z=-60$

$z = \cfrac{-60}{30}$

$\bm{z=-2}$

Ahora que sabemos cuánto es z, si sustituimos su valor en la segunda ecuación podemos encontrar el valor de $y$ :

$3y+3z=24 \ \xrightarrow{z \ = \ -2} \ 3y+3(-2)=24$

$3y-6=24$

$3y=24+6$

$3y=30$

$y=\cfrac{30}{3}$

$\bm{y=10}$

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos $x$ :

$1x+1y+1z=48 \ \xrightarrow{y \ = \ 10 \ ; \ z \ = \ -2} \ 1x+1(10)+1(-2)=48$

$x+10-2=48$

$x=48-10+2$

$\bm{x=40}$

Por tanto la solución al sistema de ecuaciones es:

$\bm{x=40} \quad \bm{y=10} \quad \bm{z=-2}$

Material de apoyo de clase.

2X - 3Y= - 4 A = D A = X A = Y

5X + 7Y = 1 D

DETERMINANTE REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un método que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Veamos cómo se utiliza:

Dado un sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} ax+by+cz= \color{red}\bm{j} \\[1.5ex] dx+ey+fz=\color{red}\bm{k} \\[1.5ex] gx+hy+iz = \color{red}\bm{l} \end{cases}$

La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\[1.1ex] d & e & f \\[1.1ex] g & h & i \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} a & b & c & \color{red}\bm{j} \\[1.1ex] d & e & f & \color{red}\bm{k} \\[1.1ex] g & h & i & \color{red}\bm{l} \end{array} \right)$

La regla de Cramer dice que la solución de un sistema de ecuaciones es:

que es la regla de cramer, explicación de la regla de cramer

Los determinantes de los numeradores son como el determinante de la matriz A pero cambiando la columna de cada incógnita por la columna de los términos independientes.

Por tanto, la regla de Cramer sirve para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Pero, como ya sabes, existen muchas maneras para resolver un sistema de ecuaciones, por ejemplo el metodo de Gauss Jordan es muy conocido.

MatemáticasII

viernes, 21 de febrero de 2025

MATRICES DE 3X3.

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