MatemáticasII : INVERSA DE UNA MATRIZ 2X2.

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Definición

Una matriz $A$ cuadrada (orden $n$ o $nxn$ ) es una matriz invertible o regular, si existe otra matriz $B$ del mismo orden, que cumpla la operación: $AB=BA=I$

La matriz resultante $\displaystyle I$ del producto de las matrices A y B, es una matriz identidad del mismo orden que A y B ( $\displaystyle nxn)$ . En este caso, la matriz $\displaystyle B$ se considera como la matriz inversa de $\displaystyle A$ y se denota $\displaystyle A^{-1}$ . Si la operación anterior no se cumple, la matriz $A$ se llamará matriz singular o matriz no invertible.

Existen 3 métodos principales para encontrar una matriz inversa:

Método directo para matrices de 2×2.
Método de Gauss-Jordan.
Determinantes con adjunta.

Inversa de una matriz con la técnica de Gauss Jordan.

una matriz es invertible si se puede calcular su inversa, de forma que la matriz por su inversa de lugar a una matriz identidad. Esto significa que A x A-1 = I. También se dice que una matriz invertible es una matriz regular, no singular, o no degenerada. No existe la posibilidad de que una matriz posea más de una inversa.

Sólo se puede calcular la inversa de las matrices cuadras, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas. Además, para que una matriz sea invertible su determinante debe ser distinto de 0 (|A| ≠ 0). Cuando el determinante de una matriz es igual 0 decimos que es una matriz singular.

Propiedades de la matriz inversa

Es necesario conocer las propiedades de la matriz inversa para entender la mayoría de operaciones que se realizan con ellas:

La inversa de un producto de matrices es igual al producto de la inversa de cada matriz: (A x B)-1 = A-1 x B-1
Si una matriz es invertible, también lo es su transpuesta. El inverso de la transpuesta es la transpuesta de su inversa: (AT)-1 = (A-1)T
La inversa de la matriz inversa es la matriz natural: (A-1)-1

Métodos para calcular la matriz inversa

Existen diferentes métodos para calcular la inversa de una matriz. Si una matriz es invertible podemos calcular su inversa a partir del método por determinantes, el método de Gauss-Jordan y el método por adjuntos. Sea cual sea el método para calcular la matriz inversa, el resultado debe ser el mismo, ya que una matriz tan sólo tiene una inversa.

Sea

una matriz invertible. El método de Gauss-Jordan consiste en:

1) Ampliar la matriz A con la matriz identidad:

2) Hacer transformaciones elementales con las filas hasta conseguir que quede de la forma

3) La matriz B obtenida a la derecha es la inversa de A

$(A|I) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} (I|A^{-1})$

Esquema para una matriz 2x2

$\left( \begin{array}{cc|cc} \bullet & \bullet & 1 & 0 \\ \bullet & \bullet & 0 & 1 \end{array} \right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 &\bullet & \bullet \\ 0 & 1 &\bullet & \bullet \end{array} \right)$

Orden a seguir

$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ \fbox{0} & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ 0 & \fbox{1} \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \fbox{0} \\ 0 & 1 \end{array} \right)$